Уравнение Дирака. Предсказания математики.

Более всего на математические предсказания подходит уравнение Дирака. Вот что по этому поводу думает и рассказывает Алексей Семихатов.

“Дирак угадал уравнение Дирака. Он решил, а давай-ка я напишу уравнение для электрона, только который будет учитывать, что этот электрон будет двигаться со скоростью, близкой к скорости света. Дирак написал это уравнение. Он исследовал решение этого уравнения, как обычно, и выяснил, ну прямо как у Максвелла, в уравнения есть странные решения. Даже не то что странные решения, ситуация хуже – решений в два раза больше, чем ожидалось. И причем половина очень странная, они описывают явно не электрон, а что-то другое. Опять, таки, при взгляде назад все это просто. Да это предсказание позитрона. На самом деле Дирак думал, что это протон, что было неправильно. Я не уверен, что он себя хорошо чувствовал в это время, потому что его уравнение, которым он так гордился и в которое верил, что оно должно быть правильным, вело себя по-дурацки и предлагало решения, которых не было в мире. Поэтому это, правда, вылилось в нобелевскую премию”.

Вот какое уравнение для электрона написал Дирак в 1928 году, которое по мнению Семихатова было просто угадано Дираком:

Возможно, что Алексей Семихатов не знал, что в 1926 году Шредингер представил миру свой шедевр, который для точечной частицы с массой m записывается так:

Как видите эти уравнения отличаются только выражением в скобках, то есть гамильтонианом. Гамильтониан (или H) в квантовой теории – оператор полной энергии системы. Мог ли Дирак, зная об уравнении Шредингера, вместо оператора для частицы с массой m в потенциальном поле, поставить свой оператор для частицы с массой электрона, движущейся со скоростью, близкой к скорости света? Думается, мог. Для начала он определил оператор полной энергии системы.

Согласно релятивистскому соотношению, гамильтониан оказался такой.

Его даже назвали гамильтонианом Дирака. Уравнение приобрело такой вид:

Когда Дирак начал его решать, то оказалось, что решение не однозначно. Получалось несколько решений. Появились решения, “которых не было в мире”. Уравнения, по выражению Семихатова, вело себя по-дурацки. А как по-вашему должно вести это уравнение, если оно само неоднозначно? Посмотрите на это слагаемое под корнем: (mc²)². Вместо m можно подставить и само m , и –m , и im , и –im , где i – корень квадратный из минус единицы. Поэтому даже я, человек далекий от математики, не могу сказать, что уравнение ведет себя по-дурацки. Нет оно ведет себя, как предписывают законы математики, что и реабилитировалось.

Получается, что в одном гамильтониане не явным образом замаскировано несколько гамильтонианов. Для одного гамильтониана пригодна положительная, обычная масса, для другого отрицательная масса, и, следовательно, отрицательная энергия, для третьего пригодна какая-то виртуальная мнимая отрицательная масса, а для четвертого гамильтониана возможно подойдет мнимая положительная масса. И для каждого гамильтониана свое решение.

А что означает решение? Это значит найти такую функцию, которая бы указывала в каком месте в такое-то время находится наблюдаемая частица. И тогда квадрат волновой функции и показывает, что частица в этом месте и в такое-то время может находится с такой-то вероятностью. А у нас какая частица? Свободный электрон, движущийся со скоростью, близкой к скорости света. Больше у нас ничего нет: ни упругости, ни гравитации, ни магнитных и электрических полей, ничего чтобы сковывало хоть какую-то степень свободы. Поэтому частица может находится где угодно с определенной степенью вероятности. Получилось бесконечное пространство, которое называют “морем Дирака”, в каждой точке которого и плавает электрон с вероятностью, указанной, скажем так, первой волновой функцией.

Но электрон не может находится все время в одном месте (вероятность равна 1), он должен его покидать. А что должно остаться на месте электрона? Дырка. А какая дырка? Электрон имеет отрицательный заряд. Он этот заряд унес с собою. Стало быть, дырка приобрела положительный потенциал. Но там, где ничего нет, нет и потенциала. Значить там есть что-то с положительным зарядом. Но положительным зарядом в то время обладал только протон. По этой причине Дирак и полагал, что вместо электрона остается протон, пока ему Вейль не указал, что протон в 1800 раз больше электрона. Решено было придать этой частице массу электрона. Я не знаю, почему в этом месте растерялся Дирак. Ведь мог же сказать, что электрон движется со скоростью близкой скорости света, поэтому его масса возросла примерно в 1800 раз (этим он поддержал бы СТО) и эта масса продавила в пространстве-времени соответствующую дыру, в которую и влез протон (этим бы он поддержал ОТО). Правда неизвестно получил бы он за это нобелевскую премию.

Хорошо, что остановились на одинаковости масс. Но вторая волновая функция указывала на необходимость отрицательной массы, которой в природе не существует. Тогда чтобы в уравнении все сходилось со знаками заряду присвоили положительный знак, который и удовлетворил потребность функции. Эту частицу с положительным зарядом и массой равной электрону и назвали позитроном. Так на бумаге и родился позитрон.

Но были и еще два решения с мнимыми массами. И эти решения оказались не скалярными, а векторными. А вектор, как известно, указывает на направление какого-то движения. Движение, электрона как целого к скорости близкой к скорости света, уже учли в гамильтониане. Осталось искать движение во “внутреннем” пространстве электрона. А так как об устройстве электрона ничего не знали, да и сейчас не знают, то полагали, что это какой-то монолит и его просто закрутили механически. Вместе с электроном завращалось его электрическое поле, которое индуцировало магнитное поле. Сразу получили механический и магнитный моменты. А поскольку решения с мнимыми массами противоположны, то эти векторы моментов направили в противоположных направлениях, “вверх” и “вниз”. Это значит, что если смотреть на электроны в море Дирака “сверху”, то одни из электронов будут вращаться по часовой стрелке, а другие против часовой стрелки.

Честь и хвала Полю Дираку, который сделал так много открытий своим уравнением.

Не знаю на сколько сильно повлияли эти открытия Дирака на Карла Андерсона, который во время исследования космических лучей открыл необычные треки некоторой частицы на снимках камеры Вильсона, которые он правильно интерпретировал как треки, принадлежащие частице с массой электрона, но имеющей противоположный электрический заряд. Электрон и эта частица отклонялись магнитным полем в противоположные стороны. Это открытие, объявленное в 1932 году, и в последствии подтверждено другими, подтвердило теоретические рассуждения Поля Дирака о существовании позитрона.

Андерсон получил первое прямое доказательство существования позитрона путем облучения различных материалов гамма-лучами, произведенными радиоактивным ядром ThC (изотоп таллия с массой 208), что привело к образованию электрон-позитронных пар.

Конечно, если Андерсон знал о работах Дирака, то это облегчало задачу идентификации новой частицы. Но даже если бы он и не знал о работе Дирака, то ему все равно пришлось бы как-то определится с этими частицами, оставлявшими такие треки, ведь они отклонялись в противоположную сторону от следов электронов. Можно было рассчитать их массу.

Так что позитрон был бы открыт так или иначе без предсказаний Дирака. То есть нельзя сказать, что позитрон был открыт исключительно его предсказанию. Что именно математика позволила открыть позитрон. Возможно математика способствовала ускорению открытия этой частицы, но не она решала в этом открытии ведущую роль.